Múltiplos y divisores de un número

Múltiplos y divisores de un número

Múltiplos y divisores

Los múltiplos de un número entero son todos los resultados que se obtienen al multiplicar ese número entero por cada uno de los números enteros.

Por ejemplo, el conjunto de los múltiplos de 4 es

$$\{\dots, -16, -12, -8, -4, ; 0, ; 4, ; 8, ; 12, ; 16, ;\dots\}$$

Puedes notar que el conjunto de los múltiplos de un número entero posee infinitos elementos.

Un número entero es múltiplo de otro si lo contiene un número entero de veces. Por ejemplo, 24 es múltiplo de 4 porque 4 está contenido 6 veces en 24 ($4\cdot 6=24$).

Nota que 0 es múltiplo de todos los números enteros, pero 0 solamente tiene un múltiplo, sí mismo.

Por otro lado, todos los números enteros son múltiplos de 1.

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo entre dos números enteros corresponde al menor múltiplo que tienen en común estas cantidades.

Por ejemplo, calcularemos el mínimo común múltiplo entre 6 y 15, considerando solo sus múltiplos positivos. Observa los primeros elementos de los conjuntos de los múltiplos positivos de 6 y de los múltiplos positivos de 15:

[\text{Múltiplos de 6}=\{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, ;\dots\}]

[\text{Múltiplos de 15}=\{15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150,;\dots\}]

El menor elemento que ambos conjuntos tienen en común es 30, por lo tanto, en este contexto el mínimo común múltiplo entre 6 y 15 es 30.

Los divisores de un número entero son los números enteros que lo pueden dividir de manera exacta, es decir, obteniendo como cociente otro número entero y resto 0.

Por ejemplo, los divisores positivos de 12 son $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$ porque se cumple que:

[12 : 1 = 12]

[12 : 2 = 6]

[12 : 3 = 4]

[12 : 4 = 3]

[12 : 6 = 2]

[12 : 12 = 1]

Nota que ser divisor es lo recíproco a ser múltiplo. Por ejemplo, si 24 es múltiplo de 4, entonces 4 es divisor de 24. Además, 24 es múltiplo de 6, puesto que 6 es divisor de 24.

Por otro lado, un divisor de cierto número es factor de ese número. Por ejemplo, 6 es divisor de 24, entonces se dice que 6 es un factor de 24 ya que $6\cdot 4 =24$. En este ejemplo, 6 y 4 son divisores de 24, por lo que 6 y 4 son factores de 24.

Máximo común divisor

El máximo común divisor entre dos números enteros corresponde al mayor divisor que tienen en común estas cantidades.

Por ejemplo, calcularemos el máximo común divisor entre 6 y 18, considerando solo sus divisores positivos. Observa los elementos de los conjuntos de los divisores positivos de 6 y de los divisores positivos de 18:

[\text{Divisores de 6}=\{1, 2, 3, 6\}]

[\text{Divisores de 18}=\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}]

El mayor elemento que ambos conjuntos tienen en común es 6, por lo tanto, en este contexto el máximo común divisor entre 6 y 18 es 6.