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Duda

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Bastian Andres

Bastian Andres dice:

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Verónica Saldaña Caro

Verónica Saldaña Caro dice:

Hola Fabián. Para calcular la probabilidad pedida, habría que calcular el área de la representación gráfica de la función dada entre 4 y 6 (como muestra la imagen, se debe calcular el área del sector gris), ya que el área bajo la función de densidad entre dos puntos $a$ y $b$ se interpreta como la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores comprendidos entre $a$ y $b$.$$ $$ Se sabe que el área total del triángulo que forma la gráfica debe ser igual a 1, ya que la suma de las probabilidades de todos los valores que tome X debe ser 1 (por propiedad). Sabemos que el triángulo tiene área 1 y base 10, entonces despejamos su altura $h$ con la fórmula del área del triángulo: $$\dfrac{10\cdot h}{2}=1$$ $$10\cdot h=2$$ $$h=\dfrac{1}{5}$$ Entonces, la altura del triángulo completo es $\dfrac{1}{5}$. La probabilidad de que X sea menor o igual que 5 es $\dfrac{1}{2}$, ya que el área del triángulo rectángulo de base 5 y altura $\dfrac{1}{5}$ es $\dfrac{1}{2}$. Si trazamos una línea vertical correspondiente a X = 4, se forma un triángulo rectángulo de base 4 y altura desconocida $y$. Por semejanza de triángulos, podemos establecer una regla de tres en donde como la base 5 tiene altura $\dfrac{1}{5}$, entonces la base 4 tendrá altura $y$ igual a: $$y=\dfrac{4\cdot 1/5}{5}$$ $$y=\dfrac{4}{25}$$ Se concluye que la figura gris a la que le tenemos que sacar el área se puede descomponer en dos figuras, un rectángulo de base 2 (porque entre 4 y 6 hay 2 unidades) y altura $\dfrac{4}{25}$ (que acabamos de calcular arriba) y un triángulo de base 2 (porque entre 4 y 6 hay 2 unidades) y altura $\dfrac{1}{25}$ (porque a $\dfrac{4}{25}$ le falta $\dfrac{1}{25}$ para llegar a $\dfrac{1}{5}$. Ahora calculamos la probabilidad pedida sumando las áreas de las figuras: $$2\cdot \dfrac{4}{25}+\dfrac{2\cdot 1/25}{2}=\dfrac{8}{25}+\dfrac{1}{25}=\dfrac{9}{25}$$ La probabilidad pedida es $\dfrac{9}{25}$ y amplificando por 4 obtenemos su representación en porcentaje: $$\dfrac{9\cdot 4}{25\cdot 4}=\dfrac{36}{100}=36\%$$

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