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Duda

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Sebastian Muñoz Salazar

Sebastian Muñoz Salazar dice:

Hola! Necesito ayuda con la 77 por favor y si me pueden dar algun link en donde encontrar informacion sobre cuadrilateros, muchas gracias de antemano

Hola! Necesito ayuda con la 77 por favor y si me pueden dar algun link en donde encontrar informacion sobre cuadrilateros, muchas gracias de antemano

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(1) 3 meses, 3 semanas

Diego Cortez Milan

Diego Cortez Milan dice:

Hola, Sebastián! Esto, si bien es una propiedad de los paralelógramos que se podría definir por separado, no es más que un ejercicio de teorema de thales, oculto dentro del problema. Para que el teorema de thales se cumpla, se deben tener 2 rectas secantes cortadas por 2 o más paralelas. Si te fijas, $AB$ y $DC$ son las rectas paralelas mientras que $DM$ y $AC$ son las rectas secantes. Esto hace que se produzcan 2 triángulos semejantes: el triángulo $PAM$ y el triángulo $PCD$, ya que sus ángulos son idénticos, y por lo tanto, sus lados son proporcionales. Entonces: $$\dfrac{DC}{AM}=\dfrac{DP}{PM}=\dfrac{CP}{PA}$$ Afortunadamente, conocemos una de estas relaciones, ya que si $M$ es el punto medio de $AB$, entonces $AM=\dfrac{AB}{2}$ y como es un paralelógramo, $DC=AB$ entonces: $$AM=\dfrac{DC}{2}$$ $$2AM=DC$$ Luego, remplazando en la ecuación de proporción: $$\dfrac{DC}{AM}=\dfrac{DP}{PM}=\dfrac{CP}{PA}$$ $$\dfrac{2AM}{AM}=\dfrac{DP}{PM}=\dfrac{CP}{PA}$$ $$2=\dfrac{DP}{PM}=\dfrac{CP}{PA}$$ $$2=\dfrac{CP}{PA}$$ $$2PA=CP$$ Lo que nos preguntan en el ejercicio es la relación de $AP$ y $AC$. Ya tenemos $AP$ ($PA$), faltaría $AC$, que es la suma de $AP$ y $CP$: $$AC=AP+CP$$ Luego remplazamos la relación encontrada entre $AP$ y $PC$: $$AC=AP+2AP$$ $$AC=3AP$$ $$1=3\dfrac{AP}{AC}$$ $$\dfrac{1}{3}=\dfrac{AP}{AC}$$ Por lo tanto $AP:AC\to 1:3$, la alternativa correcta es la a). Saludos!

3 meses, 2 semanas