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Blog - Conjuntos Numéricos - Números I

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Conjuntos Numéricos - Números I

10/Mar/2018






De los Naturales a los Racionales


El conjunto de los números racionales es ordenado, cerrado y posee  infinitos elementos. Este conjunto abarca a los Naturales y Enteros y  le agregaremos los inversos multiplicativos de los Enteros.


Estos números Racionales se pueden expresar como la división de dos números enteros cualquiera (casi), con la única restricción de que el divisor o denominador tiene que ser distinto de cero. 


Comenzaremos revisando brévemente los conjuntos de los Naturales y los Enteros hasta llegar a la necesidad de extendernos de los Racinoales a otro conjunto para completar la Recta Numérica.


Conjuntos Numéricos


Un conjunto es una agrupación de objetos, que en general, tienen alguna característica que los identifica. Por ejemplo, el conjunto de las asignaturas PSU en TIClass sería: $C = \{ \text{Matemática, Lenguaje, Física, Química, Biología, Historia} \}$


En esta oportunidad estudiaremos cómo se definen los conjuntos numéricos, qué caracteriza a sus elementos y lo más imoprtante: ¿por qué surge la necesidad de expandirlos hasta llegar a los Números Reales?.


Números Naturales $\mathbb{N}$


 Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar los elementos de los otros conjuntos. 


Cualquier elemento del conjunto $\mathbb{N} = \{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5,\; \dots \; , \infty \}$ se le considera un Natural. 


Como los números naturales se usan para contar, el CERO sí se puede considera  un número Natural, ya que sería la ausencia de elementos de un conjunto. Pero esta es una discusión abierta en las matemáticas y las distintas disciplinas que se basan en ella, por lo que es conveniente usar otra definición para el conjunto de los naturales que sí incluyen el CERO: Los Cardinales ($\mathbb{N_0}$)


$$\mathbb{N_0} = \{0,\; 1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5,\; \dots \; , \infty \}$$


Propiedades de los Naturales (Axiomas de Peano)


La versión actual de los Axiomas de Peano describe las propiedades fundamentales de los Naturales:



  • El número 1 es un número natural, por lo tanto el conjunto de los números naturales no es vacío.

  • Si $a$ es un número natural, entonces el sucesor de $a$, es decir, $a+1$, también es un número natural.

  • El número 1 no es sucesor de ningún número natural, por lo tanto corresponde al primer elemento del conjunto numérico de los naturales.

  • Si los sucesores de dos números naturales $a$ y $b$ son distintos, entonces los números naturales $a$ y $b$ son distintos.

  • Si un conjunto de números naturales contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos, entonces contiene a todos los números naturales Axioma de Inducción Matemática.


Si quieres saber más sobre los Conjuntos Inductivos, te recomendamos el curso de Introducción a la Matemática Universitaria.


Números Enteros $\mathbb{Z}$


Al sumer dos números Naturales el resultado siempre es otro Natural. Pero hay problemas que no se pueden resolver en este conjunto, por ejemplo, ¿cómo podríamos utilizar los Naturales para representar disminuciones, pérdidas ?


Para esto vamos a extender los Naturales agregando sus inversos aditivos y el neutro aditivo


El Neutro Aditivo: es aquel elemento de un conjunto, tal que al sumarlo con otro elemento cualquiera del mismo conjunto, se obtiene el mismo elemento. El neutro Aditivo de este conjunto es el CERO, ya que:


$$a + 0 = a \qquad \text{Para todo $a$ en $\mathbb{Z}$ }$$ 


El Inverso Aditivo: es aquel elemento $(-a)$ de un conjunto tal que al sumarlo con otro elmento $a$ del conjunto, se obtiene el Neutro Aditivo. Cada elemento tiene su propio Inverso Aditivo, menos el Neutro Aditivo:


$$a +  (-a)= 0 $$


Diremos que $a$ y $(-a)$ son inversos aditivos uno del otro.


Así los Enteros son la unión de los Naturales, los inversos aditivos de los naturales y el cero (neutro aditivo).


$$\mathbb{Z} = \{-\infty, \dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots, \infty \}$$


Propiedades de los Números Enteros


Las características fundamentales de este conjunto son:



  • Es ordenado: Se puede establecer relaciones de orden entre dos elementos del conjunto (mayor, menor o igual)

  • Es cerrado para la adición y mulitiplcación: La suma o multiplicación de dos números enteros es siempre otro entero.

  • Existe el Inverso Aditivo.

  • Es asociativo, conmutativo y tiene elemento neutro para la adición.

  • Es asociativo, conmutativo y tiene elemento neutro para la multiplicación.

  • La suma y multiplicación de números enteros  cumplen con la Propiedad distributiva.


Números Racionales $\mathbb{Q}$


Notemos que los Enteros no poseen inverso multiplicativo,  lo que conlleva a que existan problemas que no pueden resolverse en ese conjunto. 


Los Números Racionales se pueden expresar como la división (o razón) de dos números enteros cualquiera (casi), con la única restricción de que el divisor o denominador tiene que ser distinto de cero. 


Cualquier número Entero $n$ (y por lo mismo un Natural) se puede expresar como un número Racional $\dfrac{n}{1}$, por lo tanto:


$$\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$$


Los Racionales quedan representados por extensión así:


$\mathbb{Q} = \{-\infty,\dots,-3,\dots,\frac{-8}{3},\dots,-2,\dots,\frac{-6}{4}\dots,-1,\dots,0,\dots,\frac{1}{2},\dots,1,\dots,\infty \}$


Propiedades de los Racionales



  • Es ordenado: Se puede establecer relaciones de orden entre dos elementos del conjunto (mayor, menor o igual)

  • Es cerrado para la adición y mulitiplcación: La suma o multiplicación de dos números enteros es siempre otro entero.

  • Existe el Inverso Aditivo.

  • Existe el Inverso Multiplicativo (Menos para el 0)

  • Es asociativo, conmutativo y tiene elemento neutro para la adición.

  • Es asociativo, conmutativo y tiene elemento neutro para la multiplicación.

  • La suma y multiplicación de números enteros  cumplen con la Propiedad distributiva.


Pareciera que con los Números Racionales ya estamos completos en la Recta Numérica, pero la verdad es que no. Preguntas como ¿cuál es la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1? no tienen respuesta en este conjunto y genera la necesidad de expandirlo.


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